חוק אוהם / חוק קירכהוף באמצעות משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

במאמר זה אנו מנסים להבין את חוק אוהם ואת חוק קירכהוף באמצעות נוסחאות והסברים הנדסיים סטנדרטיים, ועל ידי יישום משוואת דיפרנציאל ליניארית מסדר ראשון לפתרון קבוצות בעיות לדוגמה.

מהו מעגל חשמלי

מעגל חשמלי פשוט ביותר הוא בדרך כלל בצורה של מעגל סדרתי בעל מקור אנרגיה או כניסת כוח אלקטרומטיבית, כמו מסוללה, או מחולל DC, ועומס התנגדות הצורך אנרגיה זו, למשל נורה חשמלית, כפי שמוצג התרשים להלן:

בהתייחס לתרשים, כאשר המתג סגור, הנוכחי אני עובר דרך הנגד, וגורם למתח לייצר מתח על פני הנגד. כלומר, כאשר נמדדים, ההבדלים הפוטנציאליים בשתי נקודות הקצה של הנגד יציגו ערכים שונים. ניתן לאשר זאת באמצעות מד מתח.

מהמצב שהוסבר לעיל ניתן להסיק את החוק הסטנדרטי של אוהם כ:

ירידת המתח ER על פני הנגד היא פרופורציונאלית לזרם המיידי I, והיא עשויה להתבטא כ:

ER = RI (משוואה מספר 1)

בביטוי לעיל, ר מוגדר כקבוע המידתיות ונקרא התנגדות הנגד.

כאן אנו מודדים את המתח IS בוולטים, ההתנגדות ר באום, והזרם אני באמפר.

זה מסביר את החוק של אוהם בצורתו הבסיסית ביותר במעגל חשמלי פשוט.
במעגלים מורכבים יותר, שני אלמנטים חיוניים נוספים נכללים בצורה של קבלים ומשרנים.

מה משרן

משרן יכול להיות מוגדר כאלמנט המתנגד לשינוי הזרם, ויוצר אפקט דמוי אינרציה בזרימת החשמל, בדיוק כמו שמסה עושה במערכות מכניות. ניסויים הניבו את המשרדים הבאים:

ירידת המתח ה על פני משרן הוא פרופורציונאלי לקצב השינוי המיידי של הזרם I. זה יכול לבוא לידי ביטוי כ:

EL = L dl / dt (משוואה מס '2)

כאשר L הופך לקבוע המידתיות ומכונה כמשרן של המשרן, ונמדד ב הנרי. הזמן t ניתן בשניות.

מה קבלים

קבל הוא פשוט מכשיר המאחסן אנרגיה חשמלית. ניסויים מאפשרים לנו לקבל את ההסבר הבא:

ירידת המתח על פני קבלים היא פרופורציונאלית למטען החשמלי המיידי Q על הקבל, זה עשוי לבוא לידי ביטוי כ:

EC = 1 / C x Q (משוואה מס '3)

כאשר C מכונה בשם קיבול , ונמדד ב פארדים החיוב ש נמדד בקולומבס.

אולם מאז אני (ג) = dQ / dt, אנו יכולים לכתוב את המשוואה הנ'ל כ:

ערך הזרם זה) ניתן לפתור במעגל נתון על ידי פתרון המשוואה המיוצרת על ידי יישום החוק הפיזי הבא:

הבנת חוק קירכהוף (KVL)

גוסטב רוברט קירכהוף (1824-1887) היה פיסיקאי גרמני, ניתן להבין את החוקים העממיים שלו כמוסברים להלן:

החוק הנוכחי של קירכהוף (KCL) קובע כי:

בכל נקודת מעגל סכום הזרמים הזורמים שווה לסכום הזרם היוצא.

חוק המתח של קירכהוף (KVL) קובע כי:

הסכום האלגברי של כל טיפות המתח המיידיות סביב כל לולאה סגורה הוא אפס, או שהמתח המושפע על לולאה סגורה שווה לסכום טיפות המתח בשאר הלולאה.

דוגמה מס '1: בהתייחס לדיאגרמת RL להלן, ובאמצעות שילוב של משוואה מס '1,2 ומתח קירכהוף אנו מסוגלים להפיק את הביטוי הבא:

משוואה: 4

בואו ניקח בחשבון מקרה זה A עם כוח אלקטרומוטיבי קבוע:

במשוואה המתוארת לעיל מס '4 אם E = E0 = קבוע, אנו מסוגלים להניע את המשוואה הבאה:

משוואה: 5

כאן המונח האחרון מתקרב לאפס כמו t נוטה להמשיך לאינסוף, כזה זה) נוטה לערך המגביל E0 / R. לאחר עיכוב ממושך מספיק, אגיע לקבוע כמעט ללא תלות בערך c, מה שמרמז גם על כך שזה יהיה בלתי תלוי במצב התחלתי שעשוי להיות כפוי על ידינו.

בהתחשב בתנאי ההתחלתי להיות, אני (0) = 0, אנו מקבלים:

משוואה: 5 *

מקרה ב '(כוח אלקטרומוטיבי תקופתי):

לוקח בחשבון E (t) = Eo sin ωt, ואז על ידי התחשבות במשוואה מס '4 ניתן לכתוב את הפיתרון הכללי למקרה ב':
(∝ = R / L)

שילובו על ידי חלקים נותן לנו:

ניתן לגזור זאת עוד כ:
ઠ = קשת עד ωL / R

כאן המונח האקספוננציאלי נוטה להתקרב לאפס כמו שנוטה להגיע לאינסוף. זה מרמז שברגע שחלף פרק זמן ארוך מספיק, הזרם I (t) משיג תנודות הרמוניות כמעט.