מהו מתנד הרמוני: דיאגרמת חסימות וסוגיה

את התנועה ההרמונית הפשוטה המציא הברומט הצרפתי הברון ז'אן בפטיסט ג'וזף פורייה בשנת 1822. אדווין ארמסטרונג (18 בדצמבר 1890 עד 1 בפברואר 1954) צפה בתנודות בשנת 1992 בניסויים שלהם ואלכסנדר מייזנר (14 בספטמבר 1883 עד 3 בינואר 1958) המציא את הניסויים. מתנדים במרץ 1993. המונח הרמוני הוא מילה לטינית. מאמר זה דן בסקירה כללית של המתנד ההרמוני הכולל את הגדרתו, סוגו ויישומיו.

מהו מתנד הרמוני?

מתנד הרמוני מוגדר כתנועה בה הכוח פרופורציונלי ישירות לחלקיק מנקודת שיווי המשקל והוא מייצר תפוקה בצורת גל סינוסי. הכוח הגורם להרמוני תְנוּעָה יכול לבוא לידי ביטוי מתמטי כ-

F = -Kx

איפה,

F = כוח מחזיר

K = קבוע קפיץ

X = מרחק משיווי משקל

דיאגרמת בלוק-של-מתנד הרמוני

יש נקודה בתנועה הרמונית בה המערכת מתנודדת, והכוח שמביא את המסה שוב ושוב באותה נקודה ממנה היא מתחילה, הכוח נקרא החזרת כוח והנקודה נקראת נקודת שיווי משקל או מיקום ממוצע. מתנד זה ידוע גם בשם מתנד הרמוני לינארי . האנרגיה זורמת מפעילה רכיבים לרכיבים פסיביים במתנד.

תרשים בלוקים

ה דיאגרמת בלוק של המתנד ההרמוני מכיל מגבר ורשת משוב. המגבר משמש להגברת האותות וכי האותות המוגברים עוברים ברשת משוב ומייצר את הפלט. כאשר Vi הוא מתח הקלט, Vo הוא מתח המוצא ו- Vf הוא מתח המשוב.

דוגמא

מיסה על אביב: הקפיץ מספק כוח שחזור שמאיץ את המסה וכוח השיקום מתבטא כ-

F = אמא

איפה 'm' הוא המסה ו- a הוא תאוצה.

מסה על קפיץ

האביב מורכב ממסה (מ ') וכוח (F). כאשר הכוח מושך את המסה בנקודה x = 0 ותלוי רק ב- x - מיקום המסה וקבוע הקפיץ מיוצג באות k.

סוגי מתנד הרמוני

סוגי מתנד זה כוללים בעיקר את הדברים הבאים.

מתנד הרמוני כפוי

כאשר אנו מפעילים כוח חיצוני על תנועת המערכת, אז נאמר כי התנועה היא מתנד הרמוני מאולץ.

מתנד הרמוני לח

מתנד זה מוגדר כשאנחנו מפעילים כוח חיצוני על המערכת, אז התנועה של המתנד מצטמצמת ותנועה שלו אמורה להיות תנועה הרמונית דעכה. ישנם שלושה סוגים של מתנדים הרמוניים דחוסים שהם

צורות גל דעיכות

מעל לחה

כאשר המערכת נעה לאט לעבר נקודת שיווי המשקל אז אומרים שהיא מתנד הרמוני מוגזם מדי.

תחת Damped

כאשר המערכת נעה במהירות לעבר נקודת שיווי המשקל, נאמר שהיא מתנד הרמוני מוגזם מדי.

קריטי שקוע

כאשר המערכת נעה במהירות האפשרית מבלי להתנדנד על נקודת שיווי המשקל, נאמר שהיא מתנד הרמוני מוגזם מדי.

קוונטי

הוא הומצא על ידי מקס בורן, ורנר הייזנברג, וולפגנג פאולי ב'אוניברסיטת גטינגן '. המילה קוונטית היא המילה הלטינית ומשמעותה של קוונטית היא כמות אנרגיה קטנה.

אפס נקודת אנרגיה

אנרגיית נקודת האפס מכונה גם אנרגיית מצב קרקע. זה מוגדר כאשר אנרגיית מצב הקרקע תמיד גדולה מאפס ומושג זה מתגלה על ידי מקס פלאנק בגרמניה והנוסחה שפותחה בשנת 1990.

אנרגיה ממוצעת של משוואת מתנדים הרמוניים פשוטים בלחות

ישנם שני סוגים של אנרגיות שהם אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית. סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית שווה לסך האנרגיה.

E = K + U ………………. שווה ערך (1)

איפה E = אנרגיה כוללת

K = אנרגיה קינטית

U = אנרגיה פוטנציאלית

איפה k = k = 1/2 mv^שתיים………… שווה ערך (2)

U = 1/2 ק'ג^שתיים………… שוויון (3)

תנודות-מחזור- לערכים ממוצעים

הערכים הממוצעים של אנרגיה קינטית ופוטנציאלית לכל מחזור תנודה שווים ל-

איפה v^שתיים= v^שתיים(ל^שתיים-איקס^שתיים) ……. שווה ערך (4)

החלף שווה ערך (4) בשווה (2) ו- שווה ערך (3) יקבל

k = 1/2 מ '[רוחב^שתיים(ל^שתיים-איקס^שתיים]]

= 1/2 מ '[Aw cos (wt + ø₀]]^שתיים……. שווה ערך (5)

U = 1/2 ק'ג^שתיים

= 1/2 k [חטא (wt + ø₀]]^שתיים……. שווה ערך (6)

תחליף eq (5) ו- eq (6) ב- eq (1) יקבל את ערך האנרגיה הכולל

E = 1/2 מ '[רוחב^שתיים(ל^שתיים-איקס^שתיים)] + 1/2 ק'ג^שתיים

= 1/2 מ 'רוחב^שתיים-1/2 מ 'רוחב^שתייםל^שתיים+ 1/2 ק'ג^שתיים

= 1/2 מ 'רוחב^שתייםל^שתיים+1/2 x^שתיים(K-mw^שתיים) ……. שווה ערך (7)

איפה mw^שתיים= K , החלף ערך זה ב- eq (7)

E = 1/2 K A^שתיים- 1/2 קילוגרם^שתיים+ 1/2 x^שתיים= 1/2 K A^שתיים

סה'כ אנרגיה (E) = 1/2 K A^שתיים

אנרגיות ממוצעות לתקופת זמן אחת מתבטאת כ-

ל_ממוצע= U_ממוצע= 1/2 (1/2 K A^שתיים)

פונקציית גל מתנד הרמוני

המפעיל המילטוניאני מתבטא כסכום של אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית והוא בא לידי ביטוי כ-

Q (Q) = T + V ………………. שווה ערך (1)

איפה ђ = מפעיל המיטוני

T = אנרגיה קינטית

V = אנרגיה פוטנציאלית

כדי ליצור את פונקציית הגל, עלינו לדעת את משוואת שרודינגר והמשוואה מתבטאת כ-

-DJ^שתיים/ 2μ * ד^שתייםѱ_υ(Q) / dQ^שתיים+ 1 / 2KQ^שתייםѱ_υ(ש) = ה_υѱ_υ(ש) …………. שווה ערך (2)

איפה ש = אורך הקואורדינטה הרגילה

Μ = מסה יעילה

K = כוח קבוע

תנאי גבול משוואת שרודינגר הם:

Ѱ (-∞) = ø

Ѱ (+ ∞) = 0

אנו יכולים גם לכתוב את ה- eq (2) כ-

ד^שתייםѱ_υ(Q) / dQ^שתיים+ 2μ / đ^שתיים(ה_υ-K / 2 * ש^שתיים) ѱ_υ(ש) = 0 ………… שווה ערך (3)

פרמטרים המשמשים לפתרון משוואה הם

β = ђ / √μk ...…… .. שווה ערך (4)

ד^שתיים/ dQ^שתיים= 1 / β^שתייםד^שתיים/ dx^שתיים………… .. שווה ערך (5)

תחליף את eq (4) ו- eq (5) ב- eq (3), ואז משוואת ההפרש של מתנד זה הופכת

ד^שתייםѱ_υ(ש) / dx^שתיים+ (2μb^שתייםה_υ/ DJ^שתיים- איקס^שתיים) ѱ_υ(x) = 0 ……… .. שווה ערך (6)

הביטוי הכללי לסדרות כוח הוא

¬C¬nx2 ...………. שווה ערך (7)

פונקציה אקספוננציאלית מתבטאת כ-

exp (-x^שתיים/ 2) ………… שווה ערך (8)

eq (7) מוכפל עם eq (8)

ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… .. שווה ערך (9)

פולינומים של הרמיט מתקבלים באמצעות המשוואה הבאה

ђ_υ(x) = (-1)^υ* exp (x^שתיים) d / dx^υ* exp (-x^שתיים) …………… .. שווה ערך (10)

הקבוע המנורמל מתבטא כ-

נ_υ= (1/2^υυ! √Π)^1/2…………… .eq (11)

ה פתרון מתנד הרמוני פשוט מתבטא כ

Ѱ_υ(x) = N_υה_υ(ו) ה^{-x2 / 2}……………… שווה ערך (12)

איפה נ_υהוא הנורמליזציה קבוע

ה _υ הוא ההרמיט

הוא ^{-x2 / שתיים}הוא הגאוסי

משוואה (12) היא פונקציית הגל של המתנד ההרמוני.

טבלה זו מציגה את המונח הראשון של פולינומי הרמיט עבור מצבי האנרגיה הנמוכים ביותר

פונקציות הגל של גרף מתנד הרמוני פשוט עבור ארבעה מצבי אנרגיה נמוכים ביותר מוצגים באיורים הבאים.

פונקציות גל-של-מתנד הרמוני

צפיפות ההסתברות של מתנד זה לארבעת מצבי האנרגיה הנמוכים ביותר מוצגת באיורים שלהלן.

צפי צפיפות-הסתברות-גל

יישומים

הסמתנד הרמונייישומים כוללים בעיקר את הדברים הבאים

• מערכות שמע ווידאו
• רדיו ומכשירי תקשורת אחרים
• ממירים , אזעקות
• זמזמים
• אורות דקורטיביים

יתרונות

ה יתרונותיו של המתנד ההרמוני הם

• זוֹל
• ייצור בתדירות גבוהה
• יעילות גבוהה
• זוֹל
• נייד
• חסכוני

דוגמאות

הדוגמה של מתנד זה כוללת את הדברים הבאים.

• כלי נגינה
• מטוטלת פשוטה
• מערכת מעיינות המונית
• נַדְנֵדָה
• תנועת ידי השעון
• תנועת גלגלי המכונית, המשאית, האוטובוסים וכו '

זהו סוג אחד של תנועה שנוכל להתבונן בבסיסי היומיום שלנו. הַרמוֹנִי מַתנֵד נגזרת של פונקציית הגל באמצעות שרודינגר ומשוואות של המתנד ההרמוני. הנה שאלה, איזה סוג תנועה מבוצעת על ידי קפיצת בנג'י?