למתמטיקה תפקיד מכריע להבין את ההתנהגות והעבודה של חַשׁמַלִי ו מערכות אלקטרוניות . פולינומים, אלגברה, הסתברות, אינטגרציות והתמיינות וכו '... מהווים חלק משמעותי מהכלים המשמשים לפתרון המערכות. עם מורכבותן הגוברת של מערכות, נדרשות שיטות מתוחכמות מאוד. משוואות דיפרנציאליות משמשות באופן בולט להגדרת מערכות בקרה. משוואות אלו פשוטות לפתרון. אך מורכבות מתעוררת תוך פתרון משוואות דיפרנציאליות מסדר גבוה יותר. כדי לפתור משוואות דיפרנציאליות מורכבות מסדר גבוה, השיטה המתמטית שהוכחה כיעילה היא Laplace Transform . מכיוון שהשינוי הזה נמצא בשימוש נרחב, כדאי לדעת למה הם באמת התכוונו וכיצד הם עובדים.

מהו טרנספורמציה של לפלס?

במתמטיקה מוחלים טרנספורמציות לצורך הפיכת משתנה מצורה אחת לאחרת כדי להקל על המשוואה. Laplace הופך כמעט את אותו הדבר. הם הופכים משוואת דיפרנציאל מסדר גבוה לצורה פולינומית שהיא קלה בהרבה מפתרון משוואה דיפרנציאלית באופן ישיר.

אבל יש טרנספורמציות שונות כמו טרנספורמציה פורייה, z הופך את מה שהופך את Laplace להתמחות? היתרון העיקרי של טרנספורמציה של Laplace הוא בכך שהם מוגדרים עבור מערכות יציבות ולא יציבות ואילו טרנספורמציות פורייה מוגדרות רק עבור מערכות יציבות.

פורמולה של Laplace Transform

טרנספורמציה של Laplace של פונקציה f (t) בתחום זמן, כאשר t הוא המספר האמיתי הגדול או שווה לאפס, ניתנת כ- F (s), שם יש s הוא המספר המורכב בתחום התדרים. כלומר. s = σ + jω
המשוואה הנ'ל נחשבת כ- חַד צְדָדִי משוואת טרנספורמציה Laplace . כאשר הגבולות מורחבים לכל הציר האמיתי אז ה- שינוי Laplace דו צדדי ניתן להגדיר כ-
במעגלים מעשיים כמו מעגלי RC ו- RL בדרך כלל, נעשה שימוש בתנאים ראשוניים כך שמבצעים טרנספורמציות חד צדדיות של Laplace למטרת ניתוח.
כאשר s = σ + jω, כאשר σ = 0 Laplace הופך מתנהג כמו טרנספורמציה פורייה.

“מהו מיישר חצי גל ”

נוסחאות טרנספורמציה של לפלס

תנאים ליישום טרנספורמציה של לפלס

טרנספורמציות Laplace נקראות טרנספורמציות אינטגרליות ולכן יש תנאים הכרחיים להתכנסות של טרנספורמציות אלה.
כלומר f חייב להיות משולב באופן מקומי עבור המרווח [0, ∞), תלוי אם σ הוא חיובי או שלילי, e ^ (- σt) עשוי להתפורר או לגדול. עבור Laplace דו-צדדי ולא לערך יחיד, האינטגרל מתכנס לטווח מסוים של ערכים המכונה אזור התכנסות.

תכונות של Laplace Transform:

לינאריות

העברת זמן

מעבר ב- S-domain

היפוך זמן

בידול בתחום ה- S

קונבולוציה בזמן

“למה משמשים דיודות ”

משפט ערכים ראשוני

משפט הערך ההתחלתי מוחל כאשר ב- Laplace טרנספורמציה דרגת המונה קטנה ממידת המכנה משפט ערך סופי:

אם כל הקטבים של sF (ים) נמצאים במחצית השמאלית של משפט הערך הסופי של מטוס S.

טרנספורמציה Laplace הפוכה

עקב התכנסות אופיינית להתמרה ב- Laplace יש גם טרנספורמציה הפוכה. טרנספורמציות Laplace מראות מיפוי אחד לאחד מחלל פונקציה אחד למשנהו. הנוסחה לטרנספורמציה של Laplace הפוכה היא

כיצד לחשב טרנספורמציה של לפלס?

טרנספורמציה של Laplace הופכת את המשוואות לפשוטות יותר לטיפול. כאשר ניתנת משוואה דיפרנציאלית מסדר גבוה יותר, מוחל עליה טרנספורמציית Laplace אשר ממירה את המשוואה למשוואה אלגברית, ובכך מקלה על הטיפול. לאחר מכן אנו מחשבים את השורשים על ידי פישוט של משוואה אלגברית זו. כעת נמצא טרנספורמציה של Laplace הפוכה של ביטוי פשוט יותר הפותרת את משוואת ההפרש הגבוהה מסדר גבוה.

Laplace Transform Transform

יישומים של Laplace Transform

ניתוח חשמל ו מעגלים אלקטרונים .
פירוק משוואות דיפרנציאל מורכבות לצורות פולינומיות פשוטות יותר.
טרנספורמציה של Laplace נותנת מידע על מצבים יציבים וחולפים.
בלמידת מכונה, התמורה של Laplace משמשת לחיזוי וניתוח בכריית נתונים.
טרנספורמציה של Laplace מפשטת חישובים במודל המערכת.

יישום של טרנספורמציה Laplace בעיבוד אותות

טרנספורמציות Laplace נבחרות לעיתים קרובות לעיבוד אותות. יחד עם טרנספורמציית פורייה, טרנספורמציה Laplace משמש לחקר אותות בתחום התדרים. כשיש תדרים קטנים באות בתחום התדרים אז אפשר לצפות שהאות יהיה חלק בתחום הזמן. סינון של אות מתבצע לרוב בתחום התדרים שבשבילו Laplace משמש ככלי חשוב להמרת אות מתחום זמן לתחום תדרים.

יישום של טרנספורמציה Laplace במערכות בקרה

מערכות בקרה נועדו בדרך כלל לשלוט בהתנהגות מכשירים אחרים. דוגמא של מערכות בקרה יכול לנוע בין בקר חימום ביתי פשוט למערכת בקרה תעשייתית המסדירה את התנהגות המכונות.

בדרך כלל, מהנדסי בקרה משתמשים במשוואות דיפרנציאליות כדי לתאר את ההתנהגות של בלוקים פונקציונליים שונים בלולאה סגורה. נעשה שימוש בטרנספורמציית Laplace לפתרון משוואות אלה ללא אובדן מידע משתנה מכריע.

אפיון של מערכות משתנות זמן ליניאריות באמצעות טרנספורמציה Laplace

עבור מערכת ROC מזדמנת המשויכת למערכת, הפונקציה היא מישור החצי הנכון. מערכת היא נגד מזדמנים אם תגובת הדחף שלה h (t) = 0 עבור t> 0.

אם ROC של פונקציות המערכת H (s) כולל את ציר jω אז ה- L.T.I. המערכת נקראת מערכת יציבה. אם למערכת מזדמנת עם פונקציות מערכת רציונליות H (ים) יש חלקים אמיתיים שליליים לכל הקטבים שלה, המערכת יציבה.

לפיכך טרנספורמציה של לפלס היא כלי מכריע בניתוח מעגלים. אנחנו יכולים לומר שכסטטוסקופ הוא שהרופא הופך את הרופאים לפלאס למהנדס בקרה. במה אתה רואה את Laplace הופך? באיזו דרך הם עזרו לך?